球面均匀采样
对于一个参数化的单位球面
$$
x=\cos\theta \cos\phi\
y=\cos\theta \sin\phi\
z=\sin\theta
$$
如果很自然地对$\theta \sim U[0,\pi],\phi \sim U[0,2\pi]$ 均匀采样的话,这张可视化的图可以很容易理解（这里 $\theta,\phi$ 和我是反的）
回忆球面到平面参数化的展开图（如HDR图、地图），在顶部和底部的的两条线会被压缩成极点，因此靠近这两个边缘的点的分布会变得非常密集。
那么一般的做法是，因为我们考虑球面均匀采样，是面积均匀，对于某个采样点v，因此我们希望它的概率密度函数$pdf(v) = \frac{1}{4\pi}$ ，
然后我们需要将这个采样点参数化，利用概率密度函数在积分域上积分为1
$$
pdf(v)dA = \frac{1}{4\pi}dA = pdf(\theta,\phi)d\theta d\phi
$$
那么这样我们需要找到$dA$ 和$d\theta d\phi$ 的映射关系，而面积微元$dA = \sin\theta d\theta d\phi$
所以联合概率密度函数
$$
pdf(\theta,\phi) = \frac{1}{4\pi}\sin\theta
$$
可以求出边际概率密度函数，由于$\theta,\phi$ 是独立的，其实也就是$\theta,\phi$ 各自的概率密度函数
$$
pdf(\theta) = \int_0^{2\pi}pdf(\theta,\phi)d\phi = \frac{\sin\theta}{2}\
pdf(\phi)=\int_0^\pi pdf(\theta,\phi)d\theta = \frac{1}{2\pi}
$$
概率分布函数/累积分布函数
$$
F(\theta) = \int_0^\theta pdf(\theta)d\theta = \frac{1-\cos\theta}{2}\
F(\phi) = \int_0^\phi pdf(\phi)d\phi = \frac{\phi}{2\pi}
$$
也就是说，我们的参数化平面这张图上，$\theta，\phi$ 的分布就应该长这个样子了。
但是如何来获得一个这种分布呢？
方法有很多
逆变换采样
就实际应用上来说，我们最容易做的random也就是均匀分布。
利用一个均匀分布来得到另外一种分布，我们需要用到一个东西叫做逆变换采样Inverse_transform_sampling
维基百科上这张图很形象
其实就是假定某种变换$T$,使得$T(U) \sim F(\theta)$
$$
\因为U是均匀分布，因此有P(U\leq y) = y\
F(\theta) = P(\xi \leq \theta) = P(T(U)\leq\theta)=P(U\leq T^{-1}(\theta)) = T^{-1}(\theta)\
那么自然知道，F(\theta) = T^{-1}(\theta)\
那么这种变换T(U) = F^{-1}(U)\
取两个随机变量\xi_1,\xi_2 \sim U\
F_{\theta}^{-1}(\xi_1) = \arccos (1-2\xi_1)\
F_{\phi}^{-1}(\xi_2) = 2\pi \xi_2
$$
至此推导完毕。
其他采样方法
Wolfram MathWorld里面还给了很多神奇的采样方法
Marsaglia（1972）
(1)
$$
选择u = \cos\theta 均匀分布，所以du = \sin\theta d\theta\
x = \sqrt{1-u^2}\cos\phi\
y = \sqrt{1-u^2}\sin\phi\
z=u
$$
(2)
$$
选取x_1,x_2\sim U(0,1),进行剔除x_1^2+x_2^2\geq1\
x = 2x_1\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\
y = 2x_2\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\
z = 1-2(x_1^2+x_2^2)
$$
Cook 1957，Marsaglia 1972
$$
选取x_0,x_1,x_2,x_3\sim U(-1,1)，拒绝域x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\ge1\
利用四元数的变换规则\
x = \frac{2(x_1x_3+x_0x_2)}{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}\
y = \frac{2(x_2x_3-x_0x_1)}{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}\
z = \frac{x_0^2+x_3^2-x_1^2-x_2^2}{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}\
$$
Muller 1959，Marsaglia 1972
$$
生成三个高斯随机变量x,y,z\
向量\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\left[\begin{array}{} x\y\z\end{array}{}\right]
\在表面S^2上是均匀的
$$
【参考资料】
http://corysimon.github.io/articles/uniformdistn-on-sphere/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/360420413
https://zhuanlan.zhihu.com/p/49746076